Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

Straling, geleiding, convectie.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

Figure 1:Sustitutie om de vergelijking te controleren.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Uitwerking: $relatieve fout = \frac{6T_0^2 \Delta{T}^2 + 4T_0\Delta{T}^3 + \Delta{T}^4}{4T_0^3\Delta{T}} = 0.224$
Dus de fout is ongeveer 22.4%.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Gedaan.
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.
De geleiding zal bijna geen invloed hebben op de warmteoverdrachtscoëfficënt. Omdat het aluminium in de opstelling maar voor een heel klein deel ergens aan vast zit, is de geleiding niet een beperkende factor voor de overdrachtscoëfficiënt. Warmtestraling zal wel een invloed hebben, maar beperkt, dit volgt uit de eerdere vergelijking. De grootste factor is de convectie. Aangezien de buis relatief klein is heeft convectie van de lucht er omheen veruit de grootste invloed. De ramen stonden ook open wat zorgt voor extra convectie.

Resultaten¶

Buis horizontaal¶

# Hier de data en de analyse

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 0.023880879 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 153.375476 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times = np.array([10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100,
 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200,
 210, 220, 230, 240, 250, 260, 270, 280, 290, 300,
 310, 320, 330, 340, 350, 360, 370, 380, 390, 400,
 410, 420, 430, 440, 450, 460, 470, 480, 490, 500,
 510, 520, 530, 540, 550, 560, 570, 580, 590, 600]
)
temps = np.array([59, 59.6, 59.4, 58.5, 57.8, 57, 56.3, 55.3, 54.6, 54,
 53.3, 52.8, 52.2, 51.4, 50.8, 50.2, 49.7, 49.1, 48.6, 48,
 47.1, 46.8, 46.4, 46, 45.5, 44.9, 44.5, 44, 43.6, 43.2,
 42.9, 42.5, 42.1, 41.7, 41.3, 40.9, 40.7, 40.4, 40.1, 39.7,
 39.5, 39.3, 39, 38.6, 38.2, 37.7,
 37.2, 36.7, 36.3, 36.0, 35.7, 35.2, 34.8, 34.4, 34.0, 33.6,
 32.8, 32.3, 32, 31.8]
)


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[50, 1000, 20], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()

plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)

print(h_exp) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)

10.078232503564973

Buis verticaal¶

temps = np.array([60.3, 58.8, 57.8, 57.2, 56.5, 55.9, 55.2, 54.5, 54.2, 53.6,
 52.9, 52.4, 52, 51.6, 51, 50.4, 49.8, 49.5, 48.8, 48.3,
 47.9, 47.6, 47.2, 46.8, 46.3, 45.7, 45.4, 45.1, 44.8, 44.4,
 44, 43.6, 43.4, 43, 42.7, 42.4, 42.1, 41.9, 41.7, 41.4,
 41, 40.7, 40.4, 40.1, 39.8, 39.7, 39.4, 39.1, 38.8, 38.5,
 38.3, 38, 37.8, 37.6, 37.4, 37.2, 37, 36.8, 36.7, 36.4])

# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[50, 1000, 20], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()

plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print(h_exp) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)

14.878609955062698

Discussie en conclusie¶

In dit experiment is de warmteoverdrachtscoëfficiënt van een aluminium buis gemeten. Wanneer deze horizontaal was geplaats kon de waarde bepaald worden op 10.078 W/m^2K en wanneer deze verticaal was geplaatst was de waarde 14.879 W/m^2K. De oorzaak voor het verschil tussen deze waarden is de oriëntatie: als de buis verticaal is, is er meer sprake van convectie dan bij een horizontaal geplaatste buis. Hoewel de waarden goed in overeenstemming met de standaardwaarden voor aluminium in lucht, wijken deze toch af. Een belangrijke reden hiervoor is dat de dop niet op de buis paste, waardoor er niet alleen externe, maar ook interne convectie kon plaatsvinden. Een vervolgonderzoek zou deze dop er wel op moeten plaatsen en indien mogelijk voor een langere tijd meten, zodat het verschil tussen de hoogste gemeten temperatuur en de laagst gemeten temperatuur minstens gelijk aan $e$ is. Op deze manier kan de curve-fit ook verbeterd worden.